CLASA a 12-a
Problemă rezolvată 6
Examenul \ de\ bacalaureat\ 2010\ Model\\
Subiectul\ II\\
1.\ se\ considera\ matricea\ M=\begin{pmatrix}
x &y &1 \\
1 & 2 &1 \\
0&3 &1
\end{pmatrix},x,y\in R.\ In\ reperul\ cartezian\ xOy\\
se\ considera\ punctele\ A(1,2),\ B(0,3),\ O(0,0) \ si\ C_n(n+1,2-n)\ cu\ n\in N.\\
a)\ sa \ se \ calculeze\ determinantul\ matricei\ M.\\
b)\ sa\ se \ arate\ ca \punctele\ A,B,C_2\ sunt\ coliniare.\\
c)\ sa\ se \ determine\ numarul\ natural\ nenul\ n\ astfel \ incat\ aria\ triunghiului\ AOC_n\ sa \\ fie\ minima.\\
2.\ Pe \ multimea\ R\ se\ defineste\ legea\ de\ compozitie\ x\perp y=(x-3)(y-3)+3, x,y\in R\\
a)\ sa\ se\ arate\ ca\ (x+3)\perp (\frac{1}{x}+3)=4,\ x,y\in R^*.\\
b)\ sa\ se \ arate \ ca\ legea\ \perp are\ element\ neutru.\\
c)\ sa\ se\ determine\ elementele\ simetrizabile\ ale\ mulrimii\ R\ in\ raport\ cu\ legea\ \perp .
Categoria: Probleme rezolvate Postat de : Webmateinfo | Clasa : a 12 - a |Data: 2010-06-11 
Problemă rezolvată 7
Examenul \ de\ bacalaureat\ 2010 Model\\
Subiectul\ I\\
1.\ Se\ considera\ progresia\ aritmetica\ (a_n)_{n\geq 1}\ in\ care\ a_1=3\ si\ a_3=7.\\
Calculati\ suma\ primilor\ 10\ termeni\ ai \ progresiei.\\
2.\ Determinati\ numerele \ reale\ m\ pentru\ care\ punctul\ A(m,-1)\ apartine\\
graficului\ functiei\ f:R\to R,\ f(x)=x^2-3x+1.\\
3.\ Rezolvati\ in\ multimea\ numerelor\ reale\ ecuatia\ log_5(2x+3)=2.\\
4.\ Determinati\ numarul\ submultimilor\ cu\ 3\ elemente\ ale\ unei\ multimi\ care\\
are\ 5\ elemente.\\
5.\ In reperul\ cartezian\ xOy\ se\ considera\ punctele\ A(-1,-2),\ B(1,2)\ si\ C(2,-1).\\
Calculati\ distanta\ de\ la\ punctul\ C\ la\ mijlocul\ segmentului\ AB.\\
6.\ Triunghiul\ ABC\ are\ AB=8,\ AC=8\ si\ m(\widehat{BAC})=30^0.\ Calculati\ aria\\ triunghiului\ ABC.
Categoria: Probleme rezolvate Postat de : Webmateinfo | Clasa : a 12 - a |Data: 2010-06-11
Problemă rezolvată 8
1.\ In\ multimea\ M_2(R)\ se\ considera\ matricele: A=\begin{pmatrix}
3 &-6 \\
1 & -2
\end{pmatrix},\\ I_2=\begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 &1
\end{pmatrix}\ Si\ submultimea\ G=\{x(a)|X(a)=I_2+aA,a>-1\}\\
a)\ Verificati\ ca\ A^2=A\\
b)\ Demonstrati\ ca\ X(a)*X(b)=X(a+b+ab),\ oricare\ ar \ fi\ a,b\in R\\
c)\ Aratati \ ca \ X,Y\in G\ atunci\ x*y\in G\\
d)\ Demonstrati\ ca\ X(1)*X(2)...X(n)=X[(n+1)!-1]\ oricare\ ar \ fi\ n\in N^*\\
2.\ Pe\ R\ se \ defineste\ legea\ de \ compozitie:\\
x*y=ax+ay+bxy+c,\ a,b,c\in R\\
Determinatia a,b,c \ pentru\ care\ e=-4\ element\ neutru\\ si\ oricare\ ar \ fi\ x\in R-\{5\}\ este\ simetrizabil.
Categoria: Probleme rezolvate Postat de : Webmateinfo | Clasa : a 12 - a |Data: 2010-06-10
Problemă rezolvată 9
Pe\ multimea\ G=(0,\infty )- \{1\}\ consideram\ operatia\ x*y=x^{3lny},\\
oricare\ ar\ fi\ x,y\in G\\
a)\ Demonstrati\ ca\x*y\in G\ oricare\ ar\ fi\ x,y \in G\\
b)\ Aratati\ ca\x*y=y*x,\ oricare\ ar\ fi\ x,y\in G\\
c)\ Rezolvati\ in\ G\ ecuatia\ x*x=e^3
Categoria: Probleme rezolvate Postat de : Webmateinfo | Clasa : a 12 - a |Data: 2010-06-10
Problemă rezolvată 10
Pe\ multimea\ numerelor\ reale\ se\ considera\ legea\ de\ compozitie:\\
x*y = 2xy - 6x - 6y + 21\\
a)\ Rezolvati\ in\ \mathbb{R} \ ecuatia:\ 5^x*5^x=11\\
b)\ Demonstrati\ ca\ H=[3,\infty )\ parte\ stabila\ a\ lui\ R\ in raport\ cu\ legea\ de\ compozitie\ '*' \ \\
c)Gasiti\ 2\ elemente\ a,b\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\ astfel\ incat\ a*b\in \mathbb{Z}
Categoria: Probleme rezolvate Postat de : Webmateinfo | Clasa : a 12 - a |Data: 2010-06-10
